Exercice 16, § 5

Soient $g$ une algèbre de Lie sur un corps quelconque $K$, $A$ une algèbre associative et commutative sur $K$, et $g' = g \otimes_K A$, qu’on considère comme algèbre de Lie sur $K$.

a) Si $D$ est une dérivation de $A$, montrer qu’il existe une dérivation $D'$ de $g'$ et une seule telle que $D'(x \otimes a) = x \otimes Da$ pour $x \in g, a \in A$.

b) Soient $p$ un nombre premier, $G$ un groupe cyclique d’ordre $p$, $s$ un générateur de $G$. On suppose $K$ de caractéristique $p$, et on prend désormais pour $A$ l’algèbre de $G$ sur $K$. Montrer qu’il existe une dérivation $D$ de $A$ et une seule telle que $D(s^k) = ks^{k-1}$ pour tout $k \in \mathbf{Z}$. Montrer que les combinaisons $K$-linéaires des $x \otimes (s-1)^k$ ($k = 1, 2, \ldots, p-1, x \in g$) forment un idéal résoluble $r$ de $g'$, et que $g'/r$ est isomorphe à $g$.

c) On prend $g$ simple (cf. § 6, no 2, déf. 2). Alors, $r$ est le radical de $g'$, mais n’est pas un idéal caractéristique. (Observer que $D(x \otimes (s-1)) = 1 \otimes x$ ) ^1.