Bài tập 16, § 5

Cho $g$ là một đại số Lie trên một trường tùy ý $K$, $A$ là một đại số giao hoán kết hợp trên $K$ và $g' = g \otimes_K A$, có thể được xem như một đại số Lie trên $K$.

(a) Nếu $D$ là một đạo hàm của $A$, hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đạo hàm $D'$ của $g'$ sao cho $D'(x \otimes a) = x \otimes Da$ với $x \in g, a \in A$.

(b) Cho $p$ là một số nguyên tố, $G$ là một nhóm cyclic cấp $p$ và $s$ là một phần tử sinh của $G$. Giả sử rằng $K$ có đặc số $p$ và từ đây về sau cho $A$ là đại số của $G$ trên $K$. Hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đạo hàm $D$ của $A$ sao cho $D(s^k) = ks^{k-1}$ với mọi $k \in \mathbf{Z}$. Hãy chứng minh rằng các tổ hợp tuyến tính trên $K$ của các $x \otimes (s-1)^k$ ($k = 1, 2, \ldots, p-1, x \in g$) tạo thành một iđêan giải được $r$ của $g'$ và rằng $g'/r$ là đẳng cấu với $g$.

(c) Lấy $g$ là đơn (xem § 6, no. 2, Định nghĩa 2). Khi đó $r$ là căn của $g'$ nhưng không phải là một iđêan đặc trưng. (Nhận xét rằng $D(x \otimes (s-1)) = 1 \otimes x$.)[^1]

[^1]: Kết quả này, chưa biên tập, đã được N. Jacobson thông báo cho chúng tôi.