Exercice 3, § 5

Soit $g$ une algèbre de Lie résoluble telle que les conditions $x \in g,\ y \in g,\ [[x, y], y] = 0$ entraînent $[x, y] = 0$. Montrer que $g$ est commutative. (Soit $k$ le plus grand entier tel que $\mathscr{O}^{k-1}g \neq \{0\}, \mathscr{O}^k g = \{0\}$. Supposant $k \geqslant 2$, montrer d’abord que $[\mathscr{O}^{k-2}g, \mathscr{O}^{k-1}g] = \{0\}$, puis que $[\mathscr{O}^{k-2}g, \mathscr{O}^{k-2}g] = \{0\}$, d’où contradiction.)