Exercice 9, § 5

Soient $g$ une algèbre de Lie, $r$ son radical, $n$ son plus grand idéal nilpotent, $D$ une dérivation de $g$. Montrer que $D(g) \cap r \subset n$. (Soient $\mathscr{D}$ l’algèbre de Lie des dérivations de $g$, $r'$ son radical. Si $x \in g$ est tel que $Dx \in r$, on a $\mathrm{ad}\,(Dx) = [D, \mathrm{ad}\,x] \in \mathscr{O}\mathscr{D} \cap r'$ (cor. 2 de la prop. 5), donc $\mathrm{ad}\,(Dx)$ est nilpotent (th. 1), donc $Dx \in n$).