Exercice 4, § 6

Soient $g$ une algèbre de Lie semi-simple, $\rho$ une représentation simple non nulle de $g$ dans un espace $M$ de dimension finie. Soit $h$ le produit semi-direct correspondant. Montrer que $h = \mathscr{O}h$, que le centre de $h$ est nul, et que $h$ n’est pas produit d’une algèbre semi-simple et d’une algèbre résoluble.