Exercice 5, § 6

Soient $a$ une algèbre de Lie, $r$ son radical. Si $r$ possède une suite décroissante d’idéaux caractéristiques $r = r_0 \supset r_1 \supset \cdots \supset r_n = \{0\}$ tels que $\dim r_i/r_{i+1} = 1$ pour $0 \leq i < n$, $g$ est produit d’une algèbre semi-simple et d’une algèbre résoluble. (Soit $s$ une sous-algèbre de Levi de $g$. Pour tout $x \in s$, soit $\rho(x)$ la restriction de $\operatorname{ad}_g x$ à $r$. Alors, $\rho$ est somme directe de représentations de dimension 1, qui sont nulles parce que $s = (\mathscr{O}s.)$