Exercice 6, § 6

Soient $g$ une algèbre de Lie, $\mathscr{O}^\infty g$ l’intersection des $\mathscr{O}^p g$ ($p = 1, 2, \ldots$). Montrer que $g/\mathscr{O}^\infty g$ est résoluble et que $\mathscr{O}(\mathscr{O}^\infty g) = \mathscr{O}^\infty g$. Pour que $g$ soit isomorphe au produit d’une algèbre semi-simple et d’une algèbre résoluble, il faut et il suffit que $\mathscr{O}^\infty g$ soit semi-simple.