Exercice 8, § 6

Soit $g$ une algèbre de Lie. Un idéal $h$ de $g$ est dit minimal si $h \neq \{0\}$ et si tout idéal de $g$ contenu dans $h$ est égal à $\{0\}$ ou $h$.

a) Tout idéal simple de $g$ est minimal.

b) Soient $h$ un idéal minimal de $g$, et $r$ le radical de $g$. On a, ou bien h ⊂ r, auquel cas h est abélien, ou h ∩ r = {0}, auquel cas h est simple. (Utiliser le fait que l’idéal dérivé d’une algèbre de Lie, et les composantes simples d’une algèbre de Lie semi-simple, sont des idéaux caractéristiques.)