Exercice 2, Annexe 0

Soit D l’algèbre large du monoïde $\mathbf{N}^*$ (A, III, p. 27). Si $n \in \mathbf{N}^*$, on note $n^\omega$ son image dans D, de sorte que l’on a $1^\omega = 1$ et $(nm)^\omega = n^\omega m^\omega$ pour $n, m$ dans $\mathbf{N}^*$.\footnote{On écrit souvent $-s$ à la place de $\omega$; on dit alors que les éléments de D sont les séries formelles de Dirichlet à coefficients dans K.} Tout élément $f$ de D s’écrit de façon unique comme série $\sum_{n=1}^\infty a_n n^\omega$, avec $a_n \in K$.

a) Soit $f = \sum_{n=1}^\infty a_n n^\omega$ un élément de D. Montrer que $f$ est inversible dans D si et seulement si $a_1$ est inversible dans K. En particulier, si K est un anneau local, il en est de même de D.

b) On pose $\zeta = \sum_{n=1}^\infty n^\omega$ et $\mu = \sum_{n=1}^\infty \mu(n) n^\omega$. Montrer que $\zeta$ et $\mu$ sont inverses l’un de l’autre. En déduire que, si $s = \sum_n s(n) n^\omega$ et $t = \sum_n t(n) n^\omega$ sont deux éléments de D, les relations $s = \zeta \cdot t$ et $t = \mu \cdot s$ sont équivalentes (variante de la formule d’inversion de Möbius).

c) Soit P l’ensemble des nombres premiers. Montrer que la famille des $(1 - p^\omega)$ pour $p \in P$, est multipliable dans D, et que l’on a