Bài tập 2, Phụ lục 0

Cho D là đại số toàn phần của monoid $\mathbf{N}^*$ (Đại số, chương III, § 2, no. 10). Nếu $n \in \mathbf{N}^*$, ký hiệu $n^\omega$ là ảnh của nó trong D, sao cho $1^\omega = 1$ và $(nm)^\omega = n^\omega m^\omega$ với $n, m$ trong $\mathbf{N}^*$.† Mọi phần tử $f$ của D có thể được viết duy nhất dưới dạng một chuỗi $\sum_{n=1}^\infty a_n n^\omega$, trong đó $a_n \in K$.

(a) Cho $f = \sum_{n=1}^\infty a_n n^\omega$ là một phần tử của D. Chứng minh rằng $f$ khả nghịch trong D khi và chỉ khi $a_1$ khả nghịch trong K. Đặc biệt, nếu K là một vành địa phương, thì D cũng vậy.

(b) Ta viết $\zeta = \sum_{n=1}^\infty n^\omega$ và $\mu = \sum_{n=1}^\infty \mu(n) n^\omega$. Chứng minh rằng $\zeta$ và $\mu$ là nghịch đảo của nhau. Suy ra rằng, nếu $s = \sum_n s(n) n^\omega$ và $t = \sum_n t(n) n^\omega$ là hai phần tử của D, thì các hệ thức $s = \zeta \cdot t$ và $t = \mu \cdot s$ là tương đương (biến thể của công thức đảo Möbius).

(c) Cho P là tập hợp các số nguyên tố. Chứng minh rằng họ $(1 - p^\omega)$ với $p \in P$ là khả tích trong D và rằng

† Ta thường viết $-s$ thay cho $\omega$; khi đó ta nói rằng các phần tử của D là các chuỗi lũy thừa hình thức Dirichlet với các hệ số trong K.