Exercice 5, § 1

Soit E une bigèbre et soit E' = \mathrm{Hom}(E, K) sa duale, munie de la structure d’algèbre déduite par dualité de la structure de cogèbre de E (A, III, p. 141). Soit m le noyau de l’homomorphisme u \mapsto u(1) de E’ sur K; c’est un idéal de E’. Montrer que, si u \in m^2 et x \in P(E), on a u(x) = 0. Lorsque K est un corps, montrer que P(E) est l’orthogonal de m^2 dans E^+ ; en déduire que \dim P(E) \leq \dim m/m^2 et qu’il y a égalité si E est de rang fini sur K.