Exercice 10, § 2

Soit $l$ une algèbre de Lie libre admettant une famille basique finie à $n$ éléments, et soit $u$ un endomorphisme surjectif de $l$. Montrer que $u$ est un isomorphisme. (Poser $gr^n(l) = \mathscr{C}^n l/\mathscr{C}^{n+1} l$ et noter $gr^n(u)$ l’endomorphisme de $gr^n(l)$ déduit de $u$; remarquer que $gr^n(u)$ est surjectif; comme $gr^n(l)$ est un K-module libre de rang fini, en déduire que $gr^n(u)$ est bijectif, puis que le noyau de $u$ est contenu dans $\bigcap_n \mathscr{C}^n l$, qui est réduit à 0.)

Si $(y_1, \ldots, y_m)$ est une famille génératrice de $l$, montrer que $m \geq n$, et qu’il y a égalité si et seulement si $(y_1, \ldots, y_m)$ est une famille basique.