Bài tập 10, § 2

Cho l là một đại số Lie tự do thừa nhận một họ cơ sở hữu hạn gồm n phần tử và cho u là một tự đồng cấu toàn ánh của l. Hãy chứng minh rằng u là một đẳng cấu. (Viết $\operatorname{gr}^n(l) = \mathscr{C}^n/\mathscr{C}^{n+1}$ và ký hiệu bằng $\operatorname{gr}^n(u)$ tự đồng cấu của $\operatorname{gr}^n(l)$ dẫn xuất từ u; chú ý rằng $\operatorname{gr}^n(u)$ là toàn ánh; vì $\operatorname{gr}^n(l)$ là một K-môđun tự do có hạng hữu hạn, suy ra rằng $\operatorname{gr}^n(u)$ là song ánh vì hạt nhân của u được chứa trong $\bigcap_n \mathscr{C}^n l$, là $\{0\}$.)

† Khi g không phân bậc, ta không biết liệu điều kiện "H^2(g, M) = \{0\} với mọi môđun g" có suy ra rằng g là một đại số Lie tự do hay không.

Nếu $(y_1, \ldots, y_m)$ là một họ sinh của $l$, hãy chứng minh rằng $m \geq n$ và rằng ta có đẳng thức khi và chỉ khi $(y_1, \ldots, y_m)$ là một họ cơ sở.