Exercice 13, § 2

(Dans cet exercice, on suppose que tout module projectif sur K est libre; il en est par exemple ainsi si K est un anneau principal.)

Soit $l = \sum_{n=1}^\infty l_n$ une algèbre de Lie graduée admettant une famille basique B formée d’éléments homogènes, et soit $h$ une sous-algèbre de Lie graduée de $l$, qui soit facteur direct dans $l$ comme module. a) Pour tout $i \geq 0$, soit $l^{(i)}$ la sous-algèbre graduée de $l$ telle que

On a $l = l^{(0)} \supset l^{(1)} \supset \ldots \supset h$. Montrer, en raisonnant par récurrence sur $i$, l’existence d’une famille basique $B^{(i)}$ de $l^{(i)}$, formée d’éléments homogènes, et telle que les éléments de $B^{(i-1)}$ et de $B^{(i)}$ de degré $< i - 1$ soient les mêmes. (Supposons $B^{(i-1)}$ construite. Soit $m_i$ l’intersection de $l_i = l_i^{(i-1)}$ avec la sous-algèbre engendrée par les $h_j$ pour $j < i$, et soit $b_i$ le sous-module de $l_i$ engendré par les éléments de degré $i$ de $B^{(i-1)}$. L’hypothèse de récurrence entraîne que $l_i = m_i \oplus b_i$. Comme $m_i \subset h_i$, on peut décomposer $b_i$ en $b_i = y_i \oplus z_i$, de telle sorte que

¹ Lorsque g n’est pas graduée, on ignore si la condition

entraîne que g est une algèbre de Lie libre.

$\mathfrak{h}_i = m_i \oplus \mathfrak{z}_i;$ vu l’hypothèse faite sur $K$, les modules $\eta_i$ et $\mathfrak{z}_i$ sont libres; quitte à changer les éléments de degré $i$ de $B^{(i-1)}$, on peut donc supposer que $\mathfrak{z}_i$ est engendré par une partie de $B^{(i-1)}$. En appliquant l’exerc. 11 à $l^{(i-1)}$ et à son idéal $l^{(i)}$, on en déduit une famille basique $B^{(i)}$ de $l^{(i)}$ ayant les propriétés voulues.) b) Déduire de a) le fait que $\mathfrak{h}$ possède une famille basique formée d’éléments homogènes.