Bài tập 13, § 2

(Trong bài tập này, giả thiết rằng mọi môđun xạ ảnh trên K đều tự do; chẳng hạn đây là trường hợp nếu K là một miền iđêan chính.)

Cho $l = \sum_{n=1}^\infty l_n$ là một đại số Lie phân bậc nhận một họ cơ sở B gồm các phần tử thuần nhất, và cho $h$ là một đại số con Lie phân bậc của $l$, là một nhân tử trực tiếp trong $l$ với tư cách là môđun. (a) Với mọi $i \geq 0$, cho $l^{(i)}$ là đại số con phân bậc của $l$ sao cho

Ta có $l = l^{(0)} \supset l^{(1)} \supset \ldots \supset h$. Bây giờ chứng minh, bằng lập luận quy nạp theo $i$, sự tồn tại của một họ cơ sở $B^{(i)}$ của $l^{(i)}$, gồm các phần tử thuần nhất, và sao cho các phần tử của $B^{(i-1)}$ và của $B^{(i)}$ có bậc $< i - 1$ là như nhau. (Giả sử rằng $B^{(i-1)}$ đã được xây dựng. Cho $m_i$ là giao của $l_i = l_i^{(i-1)}$ với đại số con sinh bởi các $h_j$ với $j < i$, và cho $b_i$ là môđun con của $l_i$ sinh bởi các phần tử bậc $i$ của $B^{(i-1)}$. Giả thiết quy nạp suy ra rằng $l_i = m_i \oplus b_i$. Vì $m_i \subset h_i$, ta có thể phân tích $b_i$ thành $b_i = y_i \oplus z_i$, sao cho

¹ Khi $g$ không phân bậc, người ta chưa biết liệu điều kiện

có kéo theo rằng $g$ là một đại số Lie tự do hay không.

$\mathfrak{h}_i = m_i \oplus \mathfrak{z}_i$; xét theo giả thiết đã đặt ra trên $K$, các môđun $\eta_i$ và $\mathfrak{z}_i$ là tự do; bằng cách thay đổi, nếu cần thiết, các phần tử bậc $i$ của $B^{(i-1)}$, ta có thể giả sử rằng $\mathfrak{z}_i$ được sinh bởi một tập con của $B^{(i-1)}$. Áp dụng Bài tập 11 cho $l^{(i-1)}$ và iđêan của nó $l^{(i)}$, ta suy ra từ đó một họ cơ sở $B^{(i)}$ của $l^{(i)}$ có các tính chất mong muốn.) (b) Suy ra từ (a) sự kiện rằng $\mathfrak{h}$ sở hữu một họ cơ sở gồm các phần tử thuần nhất.