Exercice 16, § 2

On suppose que $K$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre. Si $g$ est une algèbre de Lie, on note $U(g)$ son algèbre enveloppante, $\sigma$ l’application canonique de $g$ dans $U(g)$, et $S(g)$ l’algèbre symétrique du $K$-module $g$. Il existe une application linéaire

et une seule telle que $\eta(g)(x^n) = \sigma(x)^n$ pour tout $x \in g$ et tout $n \in \mathbf{N}$. On a: On se propose de montrer que $\eta(g)$ est bijective. a) Prouver que $\eta(g)$ est surjective, et qu’elle est bijective lorsque le $K$-module $g$ est libre (utiliser le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt). b) Soit $\mathfrak{h}$ un idéal de $g$. On note $s_{\mathfrak{h}}$ (resp. $u_{\mathfrak{h}}$) l’idéal de $S(g)$ (resp. l’idéal bilatère de $U(g)$) engendré par $\mathfrak{h}$ (resp. par $\sigma(\mathfrak{h})$). Le diagramme est commutatif, et ses lignes sont exactes. En déduire que l’image $\tilde{u}_{\mathfrak{h}}$ de $s_{\mathfrak{h}}$ par $\eta(g)$ est contenue dans $u_{\mathfrak{h}}$ et que l’on a $\tilde{u}_{\mathfrak{h}} = u_{\mathfrak{h}}$ lorsque $\eta(g)$ et $\eta(g/\mathfrak{h})$ sont injectifs (en particulier lorsque les modules $g$ et $g/\mathfrak{h}$ sont libres). c) On prend pour $g$ une algèbre de Lie libre, de famille basique $(X_1, \ldots, X_n, H)$, avec $n \geq 0$, et on prend pour $\mathfrak{h}$ l’idéal de $g$ engendré par $H$. Montrer que $g$ et $g/\mathfrak{h}$ sont des modules libres. En déduire que, dans ce cas, on a $\tilde{u}_{\mathfrak{h}} = u_{\mathfrak{h}}$. En particulier, il existe $x \in s_{\mathfrak{h}}$ tel que $(\eta(g))(x) = \sigma(X_1) \ldots \sigma(X_n) \sigma(H)$. d) On revient au cas général. Montrer que $u_{\mathfrak{h}}$ est engendré sur $K$ par les éléments de la forme $\sigma(x_1) \ldots \sigma(x_n) \sigma(h)$, avec $n \geq 0$, $x_i \in g$, et $h \in \mathfrak{h}$ (remarquer que $u_{\mathfrak{h}}$ coïncide avec l’idéal à gauche engendré par $\mathfrak{h}$). Montrer, en utilisant c), qu’un tel élément appartient à $\tilde{u}_{\mathfrak{h}}$ (utiliser un homomorphisme convenable d’une algèbre de Lie libre dans $g$). En déduire que $\tilde{u}_{\mathfrak{h}} = u_{\mathfrak{h}}$. e) Montrer que, si $\eta(g)$ est bijectif, il en est de même de $\eta(g/\mathfrak{h})$. En déduire finalement que, pour toute algèbre de Lie $g$, $\eta(g)$ est bijectif (écrire $g$ comme quotient d’une algèbre de Lie libre), et que l’homomorphisme canonique est une isomorphisme (« théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt » pour les algèbres de Lie sur les $\mathbf{Q}$-algèbres).