Bài tập 16, § 2

Ta giả sử rằng $K$ là một $\mathbf{Q}$-đại số. Nếu $g$ là một đại số Lie, ta ký hiệu $U(g)$ là đại số bao quanh của nó, $\sigma$ là ánh xạ chính tắc từ $g$ vào $U(g)$, và $S(g)$ là đại số đối xứng của $K$-môđun $g$. Tồn tại một ánh xạ tuyến tính

và chỉ một ánh xạ như vậy, sao cho $\eta(g)(x^n) = \sigma(x)^n$ với mọi $x \in g$ và mọi $n \in \mathbf{N}$. Ta có: Ta đề nghị chứng minh rằng $\eta(g)$ là song ánh. (a) Chứng minh rằng $\eta(g)$ là toàn ánh, và rằng nó là song ánh khi $K$-môđun $g$ là tự do (sử dụng định lý Poincaré–Birkhoff–Witt). (b) Cho $\mathfrak{h}$ là một iđêan của $g$. Ta ký hiệu $s_{\mathfrak{h}}$ (tương ứng $u_{\mathfrak{h}}$) là iđêan của $S(g)$ (tương ứng iđêan hai phía của $U(g)$) sinh bởi $\mathfrak{h}$ (tương ứng bởi $\sigma(\mathfrak{h})$). Biểu đồ là giao hoán, và các dòng của nó là khớp. Suy ra rằng ảnh $\tilde{u}_{\mathfrak{h}}$ của $s_{\mathfrak{h}}$ qua $\eta(g)$ được chứa trong $u_{\mathfrak{h}}$ và rằng ta có $\tilde{u}_{\mathfrak{h}} = u_{\mathfrak{h}}$ khi $\eta(g)$ và $\eta(g/\mathfrak{h})$ là đơn ánh (đặc biệt khi các môđun $g$ và $g/\mathfrak{h}$ là tự do). (c) Lấy $g$ là một đại số Lie tự do, với họ cơ bản $(X_1, \ldots, X_n, H)$, với $n \geq 0$, và lấy $\mathfrak{h}$ là iđêan của $g$ sinh bởi $H$. Chứng minh rằng $g$ và $g/\mathfrak{h}$ là các môđun tự do. Suy ra rằng, trong trường hợp này, ta có $\tilde{u}_{\mathfrak{h}} = u_{\mathfrak{h}}$. Đặc biệt, tồn tại $x \in s_{\mathfrak{h}}$ sao cho $(\eta(g))(x) = \sigma(X_1) \ldots \sigma(X_n) \sigma(H)$. (d) Ta trở lại trường hợp tổng quát. Chứng minh rằng $u_{\mathfrak{h}}$ được sinh trên $K$ bởi các phần tử có dạng $\sigma(x_1) \ldots \sigma(x_n) \sigma(h)$, với $n \geq 0$, $x_i \in g$, và $h \in \mathfrak{h}$ (chú ý rằng $u_{\mathfrak{h}}$ trùng với iđêan trái sinh bởi $\mathfrak{h}$). Chứng minh, sử dụng (c), rằng một phần tử như vậy thuộc về $\tilde{u}_{\mathfrak{h}}$ (sử dụng một đồng cấu thích hợp từ một đại số Lie tự do vào $g$). Suy ra rằng $\tilde{u}_{\mathfrak{h}} = u_{\mathfrak{h}}$. (e) Chứng minh rằng, nếu $\eta(g)$ là song ánh, thì điều tương tự cũng đúng với $\eta(g/\mathfrak{h})$. Cuối cùng suy ra rằng, đối với mọi đại số Lie $g$, $\eta(g)$ là song ánh (viết $g$ như một thương của một đại số Lie tự do), và rằng đồng cấu chính tắc là một đẳng cấu (« Định lý Poincaré–Birkhoff–Witt » cho các đại số Lie trên các $\mathbf{Q}$-đại số).