Exercice 6, § 2

Soit E un module. Soit ME l’algèbre libre de E (A, III, p. 181, exerc. 13). On rappelle que $ME = \bigoplus_{n \geq 1} E_n$, avec

la structure d’algèbre de ME étant définie grâce aux applications canoniques $E_n \otimes E_m \to E_{n+m}$. a) Soit J le plus petit idéal bilatère de ME contenant les éléments de la forme $xx$ et $(xy)z + (yz)x + (zx)y$ avec $x, y, z$ dans E. On pose LE = ME/J. Montrer que J est un idéal gradué de ME; en déduire une graduation $(L^nE)_{n \geq 1}$ de LE. b) Montrer que LE est une algèbre de Lie; on l’appelle l’algèbre de Lie libre du module E. Montrer que, pour toute algèbre de Lie g, et toute application linéaire $f : E \to g$, il existe un homomorphisme d’algèbres de Lie F : LE $\to g$ et un seul qui prolonge $f$. c) Définir des isomorphismes $E \to L^1E$ et $\wedge^2E \to L^2E$. Montrer que $L^3E$ s’identifie au quotient de $E \otimes \wedge^2E$ par le sous-module engendré par les éléments d) Montrer que, lorsque E est un module libre de base X, LE s’identifie à l’algèbre de Lie libre L(X) définie au n° 2. e) Montrer que l’application canonique de E dans l’algèbre enveloppante U(LE) de LE se prolonge en un isomorphisme de l’algèbre tensorielle TE sur U(LE). f) Soit $\sigma$ l’application linéaire de $\wedge^2E$ dans $T^2E$ telle que $\sigma(x \wedge y) = x \otimes y - y \otimes x$. Construire un module E pour lequel $\sigma$ n’est pas injective. En déduire que, pour ce module, l’application canonique de LE dans U(LE) n’est pas injective (comparer à l’exerc. 9 du chap. I, § 2).