Bài tập 6, § 2

Cho $E$ là một môđun. Gọi $ME$ là đại số tự do của $E$ (\emph{Algebra}, Chương III, § 2, Bài tập 13). Nhắc lại rằng $ME = \bigoplus_{n \geq 1} E_n$, trong đó

và cấu trúc đại số trên $ME$ được định nghĩa nhờ các ánh xạ chính tắc $E_n \otimes E_m \to E_{n+m}$.

(a) Cho $J$ là iđêan hai phía nhỏ nhất của $ME$ chứa các phần tử có dạng $xx$ và $(xy)z + (yz)x + (zx)y$ với $x, y, z$ trong $E$. Gọi $LE = ME/J$. Chứng minh rằng $J$ là một iđêan phân bậc của $ME$; suy ra một phân bậc $(L^n E)_{n \geq 1}$ của $LE$.

(b) Chứng minh rằng $LE$ là một đại số Lie; nó được gọi là \emph{đại số Lie tự do của môđun} $E$. Chứng minh rằng với mọi đại số Lie $g$ và mọi ánh xạ tuyến tính $f : E \to g$ tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số Lie $F : LE \to g$ mở rộng $f$.

(c) Định nghĩa các đẳng cấu $E \to L^1 E$ và $\wedge^2 E \to L^2 E$. Chứng minh rằng $L^3 E$ được đồng nhất với thương của $E \otimes \wedge^2 E$ theo môđun con sinh bởi các phần tử

(d) Chứng minh rằng, khi $E$ là một môđun tự do có cơ sở $X$, $LE$ được đồng nhất với đại số Lie tự do $L(X)$ được định nghĩa trong no. 2.

(e) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc của $E$ vào đại số bao $U(LE)$ của $LE$ có thể được mở rộng thành một đẳng cấu từ đại số tenxơ $TE$ lên $U(LE)$.

(f) Cho $\sigma$ là ánh xạ tuyến tính của $\wedge^2 E$ vào $T^2 E$ sao cho

Xây dựng một môđun $E$ sao cho $\sigma$ không đơn ánh. Suy ra rằng đối với môđun này ánh xạ chính tắc của $LE$ vào $U(LE)$ không đơn ánh (so sánh với Bài tập 9 của Chương I, § 2).