Exercice 8, § 2

On suppose que K est un corps. Soit l une algèbre de Lie libre, de famille basique $(\bar{x}_i)_{i \in I}$, soit r un idéal de l contenu dans [l, l] et soit $g = l/r$; on note $x_i$ l’image de $\bar{x}_i$ dans g. Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) g est une algèbre de Lie libre. (ii) g admet $(x_i)$ pour famille basique (i.e. on a $r = \{0\}$). (iii) Pour tout g-module M, on a $H^2(g, M) = \{0\}$. (iv) Si g opère trivialement sur K, on a $H^2(g, K) = \{0\}$. (Les implications (ii) $\Rightarrow$ (i) et (iii) $\Rightarrow$ (iv) sont évidentes et (i) $\Rightarrow$ (iii) résulte de l’exerc. 7. Pour prouver que (iv) $\Rightarrow$ (ii) il suffit de montrer que $r = [l, r]$, cf. exerc. 5; dans le cas contraire, prendre un hyperplan $h$ de r contenant [l, r], et remarquer que l’extension $r/h \to l/h \to l/r = g$ est essentielle.)