Bài tập 8, § 2

Giả sử rằng K là một trường. Cho l là một đại số Lie tự do với họ cơ sở $(\bar{x}_i)_{i \in I}$, cho r là một iđêan của l được chứa trong $[l, l]$ và cho g = $l/r$; gọi $x_i$ là ảnh của $\bar{x}_i$ trong g. Chứng minh tính tương đương của các tính chất sau: (i) g là một đại số Lie tự do. (ii) g nhận $(x_i)$ làm họ cơ sở (nghĩa là $r = \{0\}$). (iii) Với mọi g-môđun M, $H^2(g, M) = \{0\}$. (iv) Nếu g tác động tầm thường trên K, thì $H^2(g, K) = \{0\}$. (Các kéo theo (ii) $\Rightarrow$ (i) và (iii) $\Rightarrow$ (iv) là hiển nhiên và (i) $\Rightarrow$ (iii) suy ra từ Bài tập 7. Để chứng minh (iv) $\Rightarrow$ (ii) chỉ cần chỉ ra rằng $r = [l, r]$, xem Bài tập 5; nếu không, lấy một siêu phẳng h của r chứa $[l, r]$ và chú ý rằng mở rộng $r/h \to l/h \to l/r = g$ là cốt yếu.)