Exercice 9, § 2

Soit $g = \bigoplus_{n \geq 1} g_n$ une algèbre de Lie graduée. Si $h$ est une sous-algèbre graduée de g telle que $g = h + [g, g]$, montrer que l’on a $h = g$. Si $(x_i)$ est une famille d’éléments homogènes de g, en déduire que $(x_i)$ est une famille génératrice si et seulement si les images des $x_i$ dans $g/[g, g]$ engendrent $g/[g, g]$.

EXERCICES

Si K est un corps sur lequel g opère trivialement, et si $H^2(g, K) = \{0\}$, montrer que la famille $(x_i)$ est basique si et seulement si les images des $x_i$ dans $g/[g, g]$ forment une base de cet espace vectoriel. (Utiliser l’exercice 8.)¹