Bài tập 9, § 2

Cho $g = \bigoplus_{n \geq 1} g_n$ là một đại số Lie phân bậc. Nếu h là một đại số con phân bậc của g sao cho $g = h + [g, g]$, hãy chứng minh rằng $h = g$. Nếu $(x_i)$ là một họ các phần tử thuần nhất của g, suy ra rằng $(x_i)$ là một họ sinh khi và chỉ khi các ảnh của các $x_i$ trong $g/[g, g]$ sinh $g/[g, g]$. Nếu K là một trường trên đó g tác động tầm thường và $H^2(g, K) = \{0\}$, hãy chứng minh rằng họ $(x_i)$ là cơ bản khi và chỉ khi các ảnh của các $x_i$ trong $g/[g, g]$ tạo thành một cơ sở của không gian vectơ này. (Sử dụng Bài tập 8.)†