Exercice 4, § 3

On suppose que $K$ est un corps de caractéristique $p > 0$. a) Soit $H$ une base de la sous-algèbre de Lie $L(X)$ de $A(X)$. Montrer (en utilisant l’isomorphisme $U(L(X)) \to A(X)$, ainsi que le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt) que les éléments $h^{p^n}$ ($h \in H, n \in \mathbf{N}$) sont linéairement indépendants sur $K$. b) Si $m$ est un entier $\geqslant 0$, on note $L_m$ le sous-module de $A(X)$ de base les $h^{p^n}$ pour $h \in H, n \leqslant m$. Montrer que $L_m$ est une sous-algèbre de Lie de $A(X)$, et que, si $a \in L_{m-1}$, on a $a^p \in L_m$ (raisonner par récurrence sur $m$, et utiliser les formules de Jacobson, cf. chap. I, § 1, exerc. 19). En déduire que $L_m$ ne dépend pas du choix de $H$, et que c’est la sous-algèbre de Lie de $A(X)$ engendrée par les $x^{p^n}$, pour $x \in X, n \leqslant m$. c) Soit $L(X, p)$ la réunion des $L_m$ pour $m \geqslant 0$. Montrer que $L(X, p)$ est la plus petite $p$-sous-algèbre de Lie de $A(X)$ contenant $X$ (cf. chap. I, § 1, exerc. 20); elle admet pour base la famille des $h^{p^n}$ pour $h \in H, n \in \mathbf{N}$. d) Soit $\tilde{U}(L(X, p))$ l’algèbre enveloppante restreinte de $L(X, p)$, cf. chap. I, § 2, exerc. 6. Montrer que l’injection de $L(X, p)$ dans $A(X)$ se prolonge en un isomorphisme de $\tilde{U}(L(X, p))$ sur $A(X)$. (Utiliser le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt, ainsi que l’exerc. cité ci-dessus.) En déduire que $L(X, p)$ est l’ensemble des éléments primitifs de $A(X)$, cf. § 1, exerc. 12. e) Soit $f$ une application de $X$ dans une $p$-algèbre de Lie $g$. Montrer que $f$ se prolonge de façon unique en un $p$-homomorphisme $F : L(X, p) \to g$. (Commencer par prolonger $f$ en un homomorphisme d’algèbres de $A(X)$ dans $Ug$.) (La $p$-algèbre de Lie $L(X, p)$ s’appelle la $p$-algèbre de Lie libre sur l’ensemble $X$.)