Bài tập 4, § 3

Giả sử rằng K là một trường có đặc số $p > 0$.

(a) Cho H là một cơ sở của đại số con Lie L(X) của A(X). Hãy chứng minh (sử dụng đẳng cấu $U(L(X)) \to A(X)$ và Định lý Poincaré–Birkhoff–Witt) rằng các phần tử $h^{p^n}$ ($h \in H, n \in \mathbf{N}$) độc lập tuyến tính trên K.

(b) Nếu m là một số nguyên $\geqslant 0$, ký hiệu $L_m$ là môđun con của $A(X)$ có cơ sở là các $h^{p^n}$, trong đó $h \in H, n \leqslant m$. Hãy chứng minh rằng $L_m$ là một đại số con Lie của $A(X)$ và rằng, nếu $a \in L_{m-1}$, thì $a^p \in L_m$ (lập luận bằng quy nạp theo m và sử dụng các công thức Jacobson, xem Chương I, § 1, Bài tập 19). Suy ra rằng $L_m$ không phụ thuộc vào lựa chọn H và rằng nó là đại số con Lie của $A(X)$ sinh bởi các $x^{p^n}$, trong đó $x \in X, n \leqslant m$.

(c) Cho $L(X, p)$ là hợp của các $L_m$ với $m \geqslant 0$. Hãy chứng minh rằng $L(X, p)$ là đại số con Lie $p$ nhỏ nhất của $A(X)$ chứa X (xem Chương I, § 1, Bài tập 20); nó nhận làm cơ sở họ các $h^{p^n}$, trong đó $h \in H, n \in \mathbf{N}$.

(d) Cho $\tilde{U}(L(X, p))$ là đại số bao phủ hạn chế của $L(X, p)$, xem Chương I, § 2, Bài tập 6. Hãy chứng minh rằng đơn ánh của $L(X, p)$ vào $A(X)$ có thể được mở rộng thành một đẳng cấu của $\tilde{U}(L(X, p))$ lên $A(X)$. (Sử dụng Định lý Poincaré–Birkhoff–Witt và bài tập được trích dẫn ở trên.) Suy ra rằng $L(X, p)$ là tập hợp các phần tử nguyên thủy của $A(X)$, xem § 1, Bài tập 12.

(e) Cho $f$ là một ánh xạ từ X vào một đại số Lie $p$ g. Hãy chứng minh rằng $f$ có thể được mở rộng duy nhất thành một $p$-đồng cấu $F : L(X, p) \to g$. (Bắt đầu bằng cách mở rộng $f$ thành một đồng cấu đại số từ $A(X)$ vào $\tilde{U}g$.)

(Đại số Lie $p$ $L(X, p)$ được gọi là đại số Lie $p$ tự do trên tập hợp X.)