Exercice 11, § 4

Soit H un sous-groupe de G, et soit m un entier ≥ 1. On suppose G engendré par une famille (x_i)_{i ∈ I} telle que x_i^m ∈ H pour tout i.

¹ On ignore si l’on a G_n = C^nG pour tout n. C’est en tout cas vrai lorsque G est un groupe libre, cf. § 5, exerc. 1. ² On peut montrer que ξ est d’ordre 12.

a) On munit H de la filtration induite par la filtration (C^nG) de G, et on identifie gr(H) à une sous-algèbre de Lie graduée de gr(G), cf. exerc. 2. Montrer que, pour tout n ≥ 0, on a

En déduire que, pour tout z ∈ H. C^nG, on a z^{m^n} ∈ H. C^{n+1}G. b) Si G est nilpotent, montrer qu’il existe un entier N ≥ 0 (ne dépendant que de la classe de nilpotence de G) tel que z^{m^N} ∈ H pour tout z ∈ G.