Bài tập 11, § 4

Cho $H$ là một nhóm con của $G$ và cho $m$ là một số nguyên $\geq 1$. Giả sử rằng $G$ được sinh bởi một họ $(x_i)_{i \in I}$ sao cho $x_i^m \in H$ với mọi $i$. (a) Cho $H$ được trang bị lọc cảm sinh bởi lọc $(C^n G)$ trên $G$ và cho $\operatorname{gr}(H)$ được đồng nhất với một đại số Lie con phân bậc của $\operatorname{gr}(G)$, xem Bài tập 2. Chứng minh rằng, với mọi $n \geq 0$,

Suy ra rằng, với mọi $z \in H$, $C^n G$, $z^m \in H$, $C^{n+1} G$. (b) Nếu $G$ là lũy linh, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $N \geq 0$ (chỉ phụ thuộc vào lớp lũy linh của $G$) sao cho $z^{m^N} \in H$ với mọi $z \in G$.