Exercice 14, § 4

Soit P un ensemble de nombres premiers. Un entier n est appelé un P-entier s’il est ≠ 0 et si tous ses facteurs premiers appartiennent à P. Un élément x ∈ G est dit de P-torsion s’il existe un P-entier n tel que x^n = e; on dit que G est de P-torsion (resp. sans P-torsion) si tout élément de G est de P-torsion (resp. si aucun élément de G distinct de e n’est de P-torsion). On dit que G est P-divisible si, pour tout x ∈ G et pour tout P-entier n, il existe y ∈ G tel que x = y^n.

On suppose G nilpotent. a) Soit H un sous-groupe de G, et soit H_P l’ensemble des x ∈ G tels qu’il existe un P-entier n pour lequel x^n ∈ H. Montrer que H_P est un sous-groupe de G (utiliser l’exerc. 12) et que (H_P)_P = H_P. Le groupe H_P est appelé le P-saturé de H dans G. Si G est P-divisible, il en est de même de H_P. b) Soit L un sous-groupe distingué de H. Montrer que L_P est distingué dans H_P. (Utiliser l’exerc. 13 c) pour prouver que, si g ∈ H_P et l ∈ L, on a glg^{-1} ∈ L_P.) En particulier, si L est distingué dans G, il en est de même de L_P, et G/L_P est sans P-torsion. En déduire que l’ensemble des éléments de P-torsion de G est le plus petit sous-groupe distingué N de G tel que G/N soit sans P-torsion. c) On suppose que G est sans P-torsion. Soit n un P-entier, et soient x, y dans G tels que x^n = y^n. Montrer que x = y. (Appliquer l’exerc. 10 a), avec r = s = n. En déduire qu’il existe un P-entier N tel que (x, y)^N = e, d’où (x, y) = e puisque G est sans P-torsion; on a alors (x^{-1}y)^n = e, d’où finalement x = y.) d) Soit H un sous-groupe de G, soit L un groupe nilpotent, et soit f : H → L un homomorphisme. Soit Γ le graphe de f dans H × L et soit Γ_P son P-saturé dans G × L. Montrer que Γ_P est contenu dans H_P × L, et que pr_1 : Γ_P → H_P est surjectif si L est P-divisible, et injectif si L est sans P-torsion.

On suppose L P-divisible et sans P-torsion. Montrer que f se prolonge de façon unique en un homomorphisme f_P : H_P → L, et que le graphe de f_P est Γ_P.