Bài tập 14, § 4

Cho $P$ là một tập hợp các số nguyên tố. Một số nguyên $n$ được gọi là một $P$-số nguyên nếu nó là $\neq 0$ và tất cả các thừa số nguyên tố của nó thuộc về $P$. Một phần tử $x \in G$ được gọi là một phần tử $P$-xoắn nếu tồn tại một $P$-số nguyên $n$ sao cho $x^n = e$; $G$ được gọi là một nhóm $P$-xoắn (tương ứng, nhóm P-xoắn tự do) nếu mọi phần tử của G là một phần tử P-xoắn (tương ứng, nếu không có phần tử nào của G khác e là một phần tử P-xoắn). G được gọi là P-chia được nếu, với mọi $x \in G$ và mọi $P$-số nguyên $n$, tồn tại $y \in G$ sao cho $x = y^n$.

Giả sử rằng G là lũy linh.

(a) Cho H là một nhóm con của G và cho $H_P$ là tập hợp các $x \in G$ sao cho tồn tại một $P$-số nguyên $n$ mà $x^n \in H$. Chứng minh rằng $H_P$ là một nhóm con của G (sử dụng Bài tập 12) và rằng $(H_P)_P = H_P$. Nhóm $H_P$ được gọi là bao hòa P của H trong G. Nếu G là P-chia được, thì $H_P$ cũng vậy.

(b) Cho L là một nhóm con chuẩn tắc của H. Chứng minh rằng $L_P$ là chuẩn tắc trong $H_P$. (Sử dụng Bài tập 13 (c) để chứng minh rằng, nếu $g \in H_P$ và $l \in L$, thì $glg^{-1} \in L_P$.)

Đặc biệt, nếu L là chuẩn tắc trong G, thì $L_P$ cũng vậy và $G/L_P$ là P-xoắn tự do. Suy ra rằng tập hợp các phần tử P-xoắn của G là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất N của G sao cho $G/N$ là P-xoắn tự do.

(c) Giả sử rằng G là P-xoắn tự do. Cho $n$ là một $P$-số nguyên và cho $x, y \in G$ sao cho $x^n = y^n$. Chứng minh rằng $x = y$. (Áp dụng Bài tập 10 (a) với $r = s = n$. Suy ra rằng tồn tại một $P$-số nguyên N sao cho $(x, y)^N = e$, do đó $(x, y) = e$ vì G là P-xoắn tự do; khi đó $(x^{-1}y)^n = e$, do đó cuối cùng $x = y$.)

(d) Cho H là một nhóm con của G, cho L là một nhóm lũy linh và cho $f : H \to L$ là một đồng cấu. Cho $\Gamma$ là đồ thị của $f$ trong $H \times L$ và cho $\Gamma_P$ là bao hòa P của nó trong $G \times L$. Chứng minh rằng $\Gamma_P$ được chứa trong $H_P \times L$ và rằng $\operatorname{pr}_1 : \Gamma_P \to H_P$ là toàn ánh nếu L là P-chia được và là đơn ánh nếu L là P-xoắn tự do.

Giả sử rằng L là P-chia được và P-xoắn tự do. Chứng minh rằng $f$ có thể được mở rộng duy nhất thành một đồng cấu $f_P : H_P \to L$ và rằng đồ thị của $f_P$ là $\Gamma_P$.