Exercice 15, § 4

On conserve les notations de l’exercice précédent. On suppose G nilpotent. Soit i : G → \bar{G} un homomorphisme de G dans un groupe nilpotent \bar{G}. On dit que (i, \bar{G}) est une P-enveloppe de G si les conditions suivantes sont vérifiées:

(i) $\bar{G}$ est P-divisible et sans P-torsion; (ii) Le noyau de $i$ est l’ensemble des éléments de P-torsion de G. (iii) Le P-saturé de $i(G)$ dans $\bar{G}$ est égal à $\bar{G}$. a) Soit $(i, \bar{G})$ une P-enveloppe de G et soit L un groupe nilpotent P-divisible et sans P-torsion. Montrer que, pour tout homomorphisme $f : G \to L$, il existe un homomorphisme $\bar{f} : \bar{G} \to L$ et un seul tel que $\bar{f} \circ i = f$ (se ramener au cas où G est sans P-torsion, et utiliser l’exerc. 14 d)). En déduire que, si G possède une P-enveloppe,$^1$ celle-ci est unique, à isomorphisme unique près. b) Soit $(i, \bar{G})$ une P-enveloppe de G, soit H un sous-groupe de G, soit $\bar{H}$ la P-enveloppe de $i(H)$ dans $\bar{G}$, et soit $i_H : H \to \bar{H}$ l’homomorphisme induit par $i$. Montrer que $(i_H, \bar{H})$ est une P-enveloppe de H. On suppose H distingué dans G. Alors $\bar{H}$ est distingué dans $\bar{G}$, cf. exerc. 14 b); si $i_{G/H} : G/H \to \bar{G}/\bar{H}$ est l’homomorphisme induit par $i$, montrer que $(i_{G/H}, \bar{G}/\bar{H})$ est une P-enveloppe de $G/H$.