Bài tập 15, § 4

Bảo toàn ký hiệu của bài tập trên, giả sử rằng G là lũy linh. Cho $i : G \to \overline{G}$ là một đồng cấu của G vào một nhóm lũy linh $\overline{G}$. $(i, \overline{G})$ được gọi là một bao P của G nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) $\overline{G}$ là P-chia được và P-không xoắn. (ii) Hạt nhân của $i$ là tập hợp các phần tử P-xoắn của G. (iii) P-bão hòa của $i(G)$ trong $\overline{G}$ bằng $\overline{G}$.

(a) Cho $(i, \overline{G})$ là một bao P của G và cho L là một nhóm lũy linh P-chia được P-không xoắn. Chứng minh rằng, với mọi đồng cấu $f : G \to L$, tồn tại duy nhất một đồng cấu $\tilde{f} : \overline{G} \to L$ sao cho $\tilde{f} \circ i = f$ (rút gọn về trường hợp G là P-không xoắn và sử dụng Bài tập 14 (d)). Suy ra rằng, nếu G có một bao P,\footnote{† Thực ra, mọi nhóm lũy linh đều có một bao P, xem § 5, Bài tập 6; cũng xem M. Lazard, Annales E. N. S., 71 (1954), tr. 101–190, Chương II, § 3.} thì bao này là duy nhất sai khác bởi một đẳng cấu.

(b) Cho $(i, \overline{G})$ là một bao P của G, cho H là một nhóm con của G, cho $\overline{H}$ là bao P của $i(H)$ trong $\overline{G}$ và cho $i_H : H \to \overline{H}$ là đồng cấu cảm sinh bởi $i$. Chứng minh rằng $(i_H, \overline{H})$ là một bao P của H.

Giả sử rằng H là chuẩn tắc trong G. Khi đó $\overline{H}$ là chuẩn tắc trong $\overline{G}$, xem Bài tập 14 (b); nếu $i_{G/H}: G/H \to \overline{G}/\overline{H}$ là đồng cấu cảm sinh bởi i, chứng minh rằng $(i_{G/H}, \overline{G}/\overline{H})$ là một bao P của G/H.