Exercice 9, § 4

On munit G de la filtration (C^nG). a) Montrer que l’idéal de gr(G) engendré par gr_2(G) est $\sum_{q \geq 2} gr_q(G)$. b) Soit (x_i)_{i ∈ I} une famille génératrice de G, et soit m ≥ 1. On suppose que, pour tout (i, j) ∈ I^2, on a (x_i, x_j)^m ∈ C^3G. Montrer que, pour tout q ≥ 2, et tout u ∈ C^qG, on a u^m ∈ C^{q+1}G (utiliser a)).