Bài tập 9, § 4

Cho $G$ được trang bị lọc $(C^n G)$.

(a) Chứng minh rằng iđêan của $\mathrm{gr}(G)$ sinh bởi $\mathrm{gr}_2(G)$ là $\sum_{q \geqslant 2} \mathrm{gr}_q(G)$.

† Ta không biết liệu $G_n = C^n G$ với mọi $n$ hay không. Điều này đúng trong mọi trường hợp khi $G$ là một nhóm tự do, xem § 5, Bài tập 1. ‡ Có thể chứng minh rằng $\xi$ có cấp 12.

(b) Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ sinh của $G$ và cho $m \geq 1$. Giả sử rằng, với mọi $(i, j) \in I^2$, $(x_i, x_j)^m \in C^3 G$. Chứng minh rằng, với mọi $q \geq 2$ và mọi $u \in C^q G$, $u^m \in C^{q+1} G$ (dùng (a)).