Exercice 11, § 5

a) Soit $A$ une algèbre filtrée vérifiant les conditions du § 4, n°5 et soit $\Gamma = A^* \cap (1 + A_0^+)$. On munit $\Gamma$ de la filtration $(\Gamma_\alpha)$ induite par celle de $A$ (loc. cit., prop. 2). Montrer que, si $K$ est un corps de caractéristique $p > 0$, $(\Gamma_\alpha)$ est une filtration restreinte (exerc. 10) et le plongement de $\mathrm{gr}(\Gamma)$ dans $\mathrm{gr}(A)$ défini dans loc. cit., prop. 3, est compatible avec les structures de p-algèbres de Lie de $\mathrm{gr}(\Gamma)$ et $\mathrm{gr}(A)$.

b) On suppose que $K = \mathbf{F}_p$. On applique ce qui précède à l’algèbre filtrée $\hat{A}(X)$, dans laquelle on plonge $F = F(X)$ au moyen de l’homomorphisme $g$. La filtration $(\Gamma_n)$ de $\Gamma$ induit une filtration $(F_n)$ de $F$, qui est une filtration restreinte. La p-algèbre de Lie $\mathrm{gr}(F)$ s’identifie à une p-sous-algèbre de Lie de $A(X)$ contenant $X$. En déduire que $\mathrm{gr}(F)$ contient la p-algèbre de Lie libre $L(X, p)$, cf. § 3, exerc. 4 e).

c) Soit $H$ un ensemble de Hall relatif à $X$; pour tout entier $i$, soit $H_i$ l’ensemble des éléments de $H$ de longueur $i$. Soit $w \in F$, et soient $\alpha_i \in \mathbf{Z}^{(H_i)}$ tels que

pour tout $n$, cf. n° 4. Pour tout $m \in H$, on note $l(m)$ la longueur de $m$ et $q(m, w)$ la plus grande puissance de $p$ qui divise $\alpha_i(m)$, où $i = l(w)$ (si $\alpha_i(m) = 0$, on convient que $q(m, w) = +\infty$). Soit $N = \inf_{m \in H} (l(m) \cdot q(m, w))$. Montrer que les $\varphi(m)^{\alpha_i(m)}$ appartiennent à $F_N$, et même à $F_{N+1}$ si $l(w) \cdot q(m, w) > N$. Montrer que, si $l(w) \cdot q(m, w) = N$, l’image de $\varphi(m)^{\alpha_i(m)}$ dans $\mathrm{gr}_N(\hat{A}(X)) = A^N(X)$ est un multiple non nul de $\bar{m}^{[q(m, w)]}$, où $\bar{m}$ est l’élément de $L(X)$ défini par $m$ (§ 2, n° 11). Or, ces éléments sont linéairement indépendants (§ 3, exerc. 4); en déduire que l’image de $w$ dans $\mathrm{gr}_N(F)$ est $\neq 0$, et appartient à $L(X, p)$, d’où le fait que $\mathrm{gr}(F) = L(X, p)$.