Bài tập 11, § 5

(a) Cho $A$ là một đại số lọc thỏa mãn các điều kiện của § 4, no. 5 và cho $\Gamma = A^* \cap (1 + A_0^+)$. $\Gamma$ được trang bị phép lọc cảm sinh bởi phép lọc trên $A$ (loc. cit., Mệnh đề 2). Hãy chỉ ra rằng, nếu $K$ là một trường có đặc số $p > 0$, $(\Gamma_\alpha)$ là một phép lọc hạn chế (Bài tập 10) và phép nhúng của $\mathrm{gr}(\Gamma)$ vào $\mathrm{gr}(A)$ được xác định trong loc. cit., Mệnh đề 3 là tương thích với các cấu trúc đại số Lie $p$* trên $\mathrm{gr}(\Gamma)$ và $\mathrm{gr}(A)$.

(b) Giả sử rằng $K = \mathbf{F}_p$. Ta áp dụng điều trên cho đại số lọc $\hat{A}(K)$, trong đó $F = F(X)$ được nhúng bằng đồng cấu $g$. Phép lọc $(\Gamma_n)$ của $\Gamma$ cảm sinh một phép lọc $(F_n)$ trên $F$, đó là một phép lọc hạn chế. Đại số Lie $p$* $\mathrm{gr}(F)$ được đồng nhất với một đại số con Lie $p$* của $A(X)$ chứa $X$. Suy ra rằng $\mathrm{gr}(F)$ chứa đại số Lie $p$* tự do $L(X, p)$, xem § 3, Bài tập 4 (e).

(c) Cho $H$ là một tập Hall đối với $X$; với mọi số nguyên $i$, gọi $H_i$ là tập hợp các phần tử của $H$ có độ dài $i$. Cho $w \in F$ và cho $\alpha_i \in \mathbf{Z}^{(H_i)}$ sao cho

với mọi $n$, xem no. 4. Với mọi $m \in H$, ký hiệu $l(m)$ là độ dài của $m$ và $q(m, w)$ là lũy thừa lớn nhất của $p$ chia hết $\alpha_i(m)$, trong đó $i = l(w)$ (nếu $\alpha_i(m) = 0$, ta quy ước $q(m, w) = +\infty$). Đặt $N = \inf_{m \in H} (l(m) \cdot q(m, w))$. Chứng minh rằng $\phi(m)^{\alpha_i(m)}$ thuộc $F_N$ và thậm chí thuộc $F_{N+1}$ nếu $l(w) \cdot q(m, w) > N$. Chứng minh rằng, nếu $l(w) \cdot q(m, w) = N$, ảnh của $\phi(m)^{\alpha_i(m)}$ trong $\mathrm{gr}_N(\hat{A}(X)) = A^N(X)$ là một bội khác không của $\overline{m}^{q(m, w)}$, trong đó $\overline{m}$ là phần tử của $L(X)$ được xác định bởi $m$ (§ 2, no. 11). Bây giờ các phần tử này là độc lập tuyến tính (§ 3, Bài tập 4); suy ra rằng ảnh của $w$ trong $\mathrm{gr}_N(F)$ là $\neq 0$ và thuộc $L(X, p)$, do đó có đẳng thức $\mathrm{gr}(F) = L(X, p)$.