Exercice 2, § 5

Soit G un groupe, soit $K[G]$ son algèbre sur K, et soit I son idéal d’augmentation ($§ 4$, exerc. 6). On note $\varepsilon$ l’homomorphisme canonique de $K[G]$ sur K; on a $\mathrm{Ker}(\varepsilon) = I$. a) Soit M un $K[G]$-module à gauche, et soit $Z(G, M)$ le groupe des homomorphismes croisés de G dans M (A, I, p. 135, exerc. 7). Si $f \in \mathrm{Hom}_{K[G]}(I, M)$, soit $f_1$ l’application $g \mapsto f(g - 1)$ de G dans M. Montrer que $f_1$ est un homomorphisme croisé (utiliser l’identité $gg' - 1 = g(g' - 1) + g - 1$ pour montrer que $f_1(gg') = g.f_1(g') + f_1(g)$), et que $f \mapsto f_1$ est un isomorphisme de $\mathrm{Hom}_{K[G]}(I, M)$ sur $Z(G, M)$. b) On prend pour G le groupe libre $F = F(X)$. Montrer que, pour toute application $\theta: X \to M$, il existe un élément $f_\theta$ de $Z(F, M)$ et un seul qui prolonge $\theta$. (Utiliser l’interprétation de $Z(F, M)$ en termes de produit semi-direct de F par M, cf. A, I, loc. cit.) En déduire, grâce à a), que la famille $(x - 1)_{x \in X}$ est une base de I comme $K[F]$-module à gauche. c) D’après b), tout élément $u \in K[F]$ s’écrit de manière unique sous la forme

avec $D_x(u) \in K[F]$, les $D_x(u)$ étant nuls sauf un nombre fini d’entre eux. L’application $u \mapsto D_x(u)$ s’appelle la dérivée partielle par rapport à x. Elle est caractérisée par les propriétés suivantes: (i) $D_x$ est une application K-linéaire de $K[F]$ dans $K[F]$. (ii) $D_x(uv) = u.D_x(v) + \varepsilon(v).D_x(u)$ pour $u, v$ dans $K[F]$. (iii) $D_x(x) = 1$ et $D_x(y) = 0$ si $y \in X - \{x\}$.

EXERCICES

Si $n \geqslant 1$, on a

d) Soit $\varepsilon_A$ l’homomorphisme canonique de $A(X)$ sur $K$. Montrer que tout élément $u$ de $A(X)$ s’écrit de façon unique sous la forme

avec $d_x(u) \in A(X)$, les $d_x(u)$ étant nuls sauf un nombre fini d’entre eux. Montrer que $d_x : u \mapsto d_x(u)$ est un endomorphisme de $A(X)$ qui se prolonge par continuité à $\hat{A}(X)$, et jouit de propriétés analogues à (i), (ii), (iii) ci-dessus. Montrer que $d_x \circ \tilde{g} = \tilde{g} \circ D_x$, où $\tilde{g}$ est l’homomorphisme de $K[F]$ dans $\hat{A}(X)$ qui prolonge $g$ (cf. exerc. 1).$^1$