Bài tập 2, § 5

Cho $G$ là một nhóm, gọi $K[G]$ là đại số của nó trên $K$ và gọi $I$ là iđêan tăng cường của nó (§ 4, Bài tập 6). Gọi $\varepsilon$ là đồng cấu chính tắc từ $K[G]$ lên $K$; khi đó $\operatorname{Ker}(\varepsilon) = I$. (a) Cho $M$ là một $K[G]$-môđun trái và gọi $Z(G, M)$ là nhóm các đồng cấu chéo từ $G$ vào $M$ (Algebra, Chương I, § 6, Bài tập 7). Nếu $f \in \mathrm{Hom}_{K[G]}(I, M)$, gọi $f_1$ là ánh xạ $g \mapsto f(g - 1)$ từ G vào M. Hãy chỉ ra rằng $f_1$ là một đồng cấu chéo (dùng đẳng thức

để chỉ ra rằng $f_1(gg') = g . f_1(g') + f_1(g)$) và rằng $f \mapsto f_1$ là một đẳng cấu từ $\mathrm{Hom}_{K[G]}(I, M)$ lên $Z(G, M)$.

(b) Lấy G là nhóm tự do $F = F(X)$. Hãy chỉ ra rằng, với mọi ánh xạ $\theta : X \to M$, tồn tại một và chỉ một phần tử $f_\theta$ của $Z(M, F)$ mở rộng $\theta$. (Dùng cách giải thích của $Z(F, M)$ theo tích nửa trực tiếp của F bởi M, xem Algebra, Chương I, loc. cit.) Suy ra, dùng (a), rằng họ $(x - 1)_{x \in X}$ là một cơ sở của I như một K[F]-môđun trái.

(c) Theo (b), mọi phần tử $u \in K[F]$ đều có thể được viết duy nhất dưới dạng

trong đó $D_x(u) \in K[F]$ và các $D_x(u)$ bằng không trừ một số hữu hạn. Ánh xạ $u \mapsto D_x(u)$ được gọi là đạo hàm riêng theo x. Nó được đặc trưng bởi các tính chất sau: (i) $D_x$ là một ánh xạ K-tuyến tính từ K[F] vào K[F]. (ii) $D_x(uv) = u . D_x(v) + \varepsilon(v) . D_x(u)$ với u, v thuộc K[F]. (iii) $D_x(x) = 1$ và $D_x(y) = 0$ nếu $y \in X - \{x\}$. Nếu $n \geqslant 1$, thì

(d) Gọi $\varepsilon_A$ là đồng cấu chính tắc từ A(X) lên K. Hãy chỉ ra rằng mọi phần tử u của A(X) đều có thể được viết duy nhất dưới dạng

trong đó $d_x(u) \in A(X)$ và các $d_x(u)$ bằng không trừ một số hữu hạn. Hãy chỉ ra rằng $d_x : u \mapsto d_x(u)$ là một tự đồng cấu của A(X), có thể được mở rộng bằng tính liên tục lên $\hat{A}(X)$ và có các tính chất tương tự như (i), (ii), (iii) ở trên. Hãy chỉ ra $d_x \circ \tilde{g} = \tilde{g} \circ D_x$, trong đó $\tilde{g}$ là đồng cấu từ K[F] vào $\hat{A}(X)$ mở rộng g (xem Bài tập 1).†