Exercice 3, § 5

Groupes et algèbres de Lie, II

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

On conserve les notations de l’exerc. 2. a) Soit $J$ un idéal à droite de $K[F]$ contenu dans $I$ , et soit $u$ un élément de $I$ . Montrer que

u \in J \cdot I \Leftrightarrow D_x(u) \in J \text{ pour tout } x \in X.

En particulier, un élément de $I$ appartient à $I^n$ ( $n \geqslant 1$ ) si et seulement si toutes ses dérivées partielles appartiennent à $I^{n-1}$ . b) Soit $R$ un sous-groupe distingué de $F$ , soit $G = F/R$ et soit $J$ le noyau de l’homomorphisme canonique $\gamma : K[F] \to K[G]$ . Montrer que $J$ est engendré comme idéal à gauche (resp. à droite) par les éléments $r - 1$ , avec $r \in R$ . Démontrer l’exactitude de la suite

(*)

0 \to J/(J \cdot I) \xrightarrow{\alpha} I/(J \cdot I) \xrightarrow{\beta} K[G] \xrightarrow{\varepsilon} K \to 0,

où $\alpha$ est déduit par passage aux quotients de l’inclusion de $J$ dans $I$ , et $\beta$ est déduit per passage aux quotients de la restriction de $\gamma$ à $I$ . c) Pour $u \in I, x \in X$ , notons $\overline{D}_x(u)$ l’image de $D_x(u)$ dans $K[G]$ par $\gamma$ . Montrer, en utilisant a), que la famille $(\overline{D}_x)_{x \in X}$ définit par passage au quotient un isomorphisme de $I/(J \cdot I)$ sur $K[G]^{(X)}$ . d) Pour $r \in R$ , soit $\theta(r)$ l’image de $r - 1$ dans $J/(J \cdot I)$ . Montrer que l’on a

\theta(rr') = \theta(r) + \theta(r') \quad \text{et} \quad \theta(yry^{-1}) = y \cdot \theta(r) \quad \text{pour} \quad r, r' \text{ dans } R, y \in F.

(Utiliser les identités

\begin{align*} rr' - 1 &= (r - 1)(r' - 1) + (r - 1) + (r' - 1) \\ yry^{-1} - 1 &= y(r - 1)(y^{-1} - 1) + y(r - 1). \end{align*}

En déduire que $\theta$ définit un homomorphisme de $R/(R, R)$ dans $J/(J \cdot I)$ compatible avec l’action de $G$ , et montrer que l’image de cet homomorphisme engendre le $K$ -module $J/(J \cdot I)$ ; lorsque $K = \mathbf{Z}$ , montrer que l’on obtient ainsi un isomorphisme de $R/(R, R)$ sur $J/(J \cdot I)$ (définir directement l’homomorphisme réciproque). e) Soit $(r_a)_{a \in A}$ une famille d’éléments de $R$ engendrant $R$ comme sous-groupe distingué de $F$ . Montrer que les $\theta(r_a)$ engendrent le $K[G]$ -module $J/(J \cdot I)$ . f) La matrice $(\overline{D}_x(r_a))_{x \in X, a \in A}$ définit un homomorphisme

\rho : K[G]^{(A)} \to K[G]^{(X)}

de $K[G]$ -modules à gauche. Montrer que la suite

(**)

K[G]^{(A)} \xrightarrow{\rho} K[G]^{(X)} \xrightarrow{\delta} K[G] \xrightarrow{\varepsilon} K \to 0,

est exacte, $\delta$ étant l’homomorphisme $(u_x) \mapsto \sum_{x \in X} u_x(\gamma(x) - 1)$ .

(Transformer la suite exacte (*) au moyen de $c$ ) $, d), e)$ ci-dessus.) $^2$

$^1$ Pour plus de détails sur les $D_x$ , voir R. FOX, Ann. of Math., t. LVII (1953), p. 547–560. $^2$ Pour plus de détails sur cet exercice, voir K. W. GRUENBERG, Lecture Notes in Math., n° 143, chap. 3, ainsi que R. SWAN, J. of Algebra, t. XII (1969), p. 585–601.

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