Bài tập 3, § 5

Ta bảo toàn ký hiệu của Bài tập 2.

(a) Cho J là một iđêan phải của K[F] được chứa trong I và cho u là một phần tử của I. Chứng minh rằng

Đặc biệt, một phần tử của I thuộc $I^n$ ($n \geqslant 1$) khi và chỉ khi mọi đạo hàm riêng của nó đều thuộc $I^{n-1}$.

† Để biết thêm chi tiết về $D_x$, xem R. Fox, Ann of Math., 57 (1953), pp. 547–560.

(b) Cho R là một nhóm con chuẩn của F, cho G = F/R và cho J là hạt nhân của đồng cấu chính tắc $\gamma : K[F] \to K[G]$. Chứng minh rằng J được sinh như một iđêan trái (tương ứng phải) bởi các phần tử $r - 1$, trong đó $r \in R$. Chứng minh tính khớp của dãy

(*)

trong đó $\alpha$ được dẫn xuất bằng cách lấy thương từ phép chứa của J trong I và $\beta$ được dẫn xuất bằng cách lấy thương từ hạn chế của $\gamma$ vào I.

(c) Với $u \in I, x \in X$, gọi $\overline{D}_x(u)$ là ảnh của $D_x(u)$ trong $K[G]$ qua $\gamma$. Chứng minh, sử dụng (a), rằng họ $(\overline{D}_x)_{x \in X}$ xác định, khi lấy thương, một đẳng cấu của $I/(J.I)$ lên $K[G]^{\infty}$.

(d) Với $r \in R$, gọi $\theta(r)$ là ảnh của $r - 1$ trong $J/(J.I)$. Chứng minh rằng

(Sử dụng các đồng nhất thức

)

Suy ra rằng $\theta$ xác định một đồng cấu của $R/(R, R)$ vào $J/(J.I)$ tương thích với tác động của G và chứng minh rằng ảnh của đồng cấu này sinh K-môđun $J/(J.I)$; khi $K = \mathbf{Z}$, chứng minh rằng thu được một đẳng cấu của $R/(R, R)$ lên $J/(J.I)$ (định nghĩa trực tiếp đồng cấu nghịch đảo).

(e) Cho $(r_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các phần tử của R sinh R như một nhóm con chuẩn của F. Chứng minh rằng các $\theta(r_\alpha)$ sinh K[G]-môđun $J/(J.I)$.

(f) Ma trận $(\overline{D}_x(r_\alpha))_{x \in X, \alpha \in A}$ xác định một đồng cấu

của các K[G]-môđun trái. Chứng minh rằng dãy

(**)

là khớp, trong đó $\delta$ là đồng cấu $(u_x) \mapsto \sum_{x \in X} u_x(\gamma(x) - 1)$.

(Biến đổi dãy khớp (*) bằng cách sử dụng (c), (d), (e) ở trên.)†