Exercice 5, § 5

Soit $\Gamma = \Gamma(X)$ le groupe de Magnus sur $X$, et soit $(\Gamma_n)$ sa filtration naturelle (n° 2). Montrer que l’algèbre de Lie graduée $\mathrm{gr}(\Gamma)$ correspondant à cette filtration est isomorphe à la sous-algèbre de Lie $\bigoplus_{n \geqslant 1} A^n(X)$ de $A(X)$. Si $X \neq \emptyset$, cette algèbre de Lie n’est pas engendrée par ses éléments de degré 1 ; en déduire que $(\Gamma_n)$ n’est pas la suite centrale descendante de $\Gamma$.