Exercice 7, § 5

On conserve les notations de l’exerc. 6. a) Soit G un groupe nilpotent de classe < c, et soit $(i, \overline{G})$ une P-enveloppe de G. Soit $\rho : F^c \to G$ un homomorphisme surjectif (un tel homomorphisme existe si X est choisi convenablement), et soit $\bar{\rho}$ l’homomorphisme correspondant de $F_P^c$ dans $\overline{G}$ ($§ 4,$ exerc. 15). L’homomorphisme $\rho$ est surjectif, et applique $C^n F_P^c = F_{P,n}^c$ sur $C^n \overline{G}$. Montrer que $C^n \overline{G}$ est la P-enveloppe de $i(C^n G)$ dans $\overline{G}$ et que l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(\overline{G})$ s’identifie à $\mathbf{Z}_P \otimes \mathrm{gr}(G)$. b) En déduire que G est P-divisible et sans P-torsion si et seulement s’il en est de même des $C^n G / C^{n+1} G$.