Bài tập 7, § 5

Ta bảo toàn ký hiệu của Bài tập 6.

(a) Cho G là một nhóm lũy linh có lớp $<c$ và cho $(i, \overline{G})$ là một bao P của G. Cho $\rho : F^c \to G$ là một đồng cấu toàn ánh (một đồng cấu như vậy tồn tại nếu X được chọn thích hợp) và cho $\bar{\rho}$ là đồng cấu tương ứng của $F_P^c$ vào $\overline{G}$ (§ 4, Bài tập 15). Đồng cấu $\bar{\rho}$ là toàn ánh và ánh xạ $C^n F_P^c = F_{P,n}^c$ lên $C^n \overline{G}$. Hãy chứng minh rằng $C^n \overline{G}$ là bao P của $i(C^n G)$ trong $\overline{G}$ và rằng đại số Lie $\mathrm{gr}(\overline{G})$ được đồng nhất với $\mathbf{Z}_P \otimes \mathrm{gr}(G)$.

(b) Suy ra rằng G là chia được theo P và không xoắn theo P khi và chỉ khi các $C^n G/C^{n+1} G$ là như vậy.