Exercice 8, § 5

On suppose que K = $\mathbf{Z}$ et que X est fini. Pour tout entier $k \geq 0$, on note $(e_{k,\alpha})$ une base de $A_k(X)$. a) Soit $(w_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ une suite d’éléments de F. Notons $w_{k,\alpha}(n)$ le coefficient de $e_{k,\alpha}$ dans le terme de degré k de $g(w_n) \in \hat{A}(X)$. On a:

On dit que la suite $(w_n)$ est typique si, pour tout couple $(k, \alpha)$, la fonction $w_{k,\alpha} : n \mapsto w_{k,\alpha}(n)$ est un polynôme binomial de degré $\leq k$, cf. exerc. 4. Cette condition est indépendante du choix des bases $(e_{k,\alpha})$. Montrer qu’elle équivaut à l’existence d’une suite $(a_k)_{k \in \mathbf{N}}$ d’éléments de $\hat{A}_q(X)$ telle que $\omega(a_k) \geq k$ pour tout $k$, et que

b) Montrer que, si $(w_n)$ et $(w'_n)$ sont deux suites typiques, il en est de même de $(w_n^{-1})$ et de $(w_n w'_n)$. c) Soit $w$ un élément de $C^k F$ pour $k \geq 1$, et soit $f$ un polynôme binomial de degré $\leq k$. Montrer que $(w^{f(n)})$ est une suite typique. En particulier, si $z \in F$, la suite $(z^n)$ des puissances de z est typique. d) Soit $(w_n)$ une suite d’éléments de F. Montrer que $(w_n)$ est typique si et seulement s’il existe $y_0, y_1, \ldots, y_n, \ldots$ dans F, avec $y_i \in C^i F$ pour tout $i \geq 1$ et

pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et tout $k \geq 1$. (Déterminer les $y_i$ à partir de $(w_n)$ en faisant successivement $n = 0, 1, \ldots$. Par exemple $w_0 = y_0, w_1 = y_0 y_1, \ldots$). e) Soit H un ensemble de Hall relatif à X, et soit $(w_n)$ une suite d’éléments de F. Soit $(\alpha(m, n))_{m \in H, n \in \mathbf{Z}}$ la famille d’entiers telle que

pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et tout $c \geqslant 1$ (cf. n° 4, Remarque). Montrer que $(w_n)$ est typique si et seulement si, pour tout $m \in \mathbf{H}$, la fonction $n \mapsto \alpha(m, n)$ est un polynôme binomial de degré $\leq l(m)$, où $l(m)$ est la longueur de $m$.\footnote{Pour plus de détails sur les suites typiques, voir M. LAZARD, Annales E.N.S., t. LXXI (1954), p. 101-190, chap. II, § , 2.}

$f$ ) Une suite $(w_n)$ est dite $1\text{-typique}$ si les fonctions $w_{k,\alpha}$ correspondantes sont des polynômes binomiaux de degré $\leq k - 1$. Montrer que, si $(w_n)$ est 1-typique, on peut trouver des $y_i \in \mathbf{C}^{i+1}\mathbf{F}$ pour $i = 0, 1, \ldots$, tels que

pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et tout $k \geqslant 1$.