Bài tập 8, § 5

Giả sử rằng $K = \mathbf{Z}$ và X là hữu hạn. Với mỗi số nguyên $k \geq 0$, ký hiệu $(e_{k,\alpha})$ là cơ sở của $A_k(X)$.

(a) Cho $(w_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử của F. Gọi $w_{k,\alpha}(n)$ là hệ số của $e_{k,\alpha}$ trong số hạng của $g(w_n) \in \hat{A}(X)$ có bậc k. Khi đó:

Dãy $(w_n)$ được gọi là điển hình nếu, với mọi cặp có thứ tự $(k, \alpha)$, hàm $w_{k,\alpha}: n \mapsto w_{k,\alpha}(n)$ là một đa thức nhị thức có bậc $\leq k$, xem Bài tập 4. Điều kiện này độc lập với lựa chọn các cơ sở $(e_{r,\alpha})$. Chứng minh rằng nó tương đương với sự tồn tại của một dãy $(a_k)_{k \in \mathbf{N}}$ các phần tử của $\hat{A}_q(X)$ sao cho $\omega(a_k) \geq k$ với mọi $k$ và

(b) Chứng minh rằng, nếu $(w_n)$ và $(w'_n)$ là hai dãy điển hình, thì $(w_n^{-1})$ và $(w_n w'_n)$ cũng là các dãy điển hình.

(c) Cho $w$ là một phần tử của $\mathrm{C}^k\mathbf{F}$ với $k \geq 1$ và cho $f$ là một đa thức nhị thức có bậc $\leq k$. Chứng minh rằng $(w^{f(n)})$ là một dãy điển hình. Đặc biệt nếu $z \in \mathbf{F}$, dãy $(z^n)$ các lũy thừa của z là điển hình.

(d) Cho $(w_n)$ là một dãy các phần tử của $\mathbf{F}$. Chứng minh rằng $(w_n)$ là điển hình khi và chỉ khi tồn tại các phần tử $y_0, y_1, \ldots, y_n, \ldots$ trong $\mathbf{F}$, trong đó $y_i \in \mathrm{C}^i\mathbf{F}$ với mọi $i \geq 1$ và

với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và mọi $k \geq 1$. (Xác định các $y_i$ từ $(w_n)$ bằng cách lần lượt đặt $n = 0, 1, \ldots$. Ví dụ $w_0 = y_0, w_1 = y_0 y_1, \ldots$.)

(e) Cho $\mathbf{H}$ là một tập Hall đối với X và cho $(w_n)$ là một dãy các phần tử của $\mathbf{F}$. Cho $(\alpha(m, n))_{m \in \mathbf{H}, n \in \mathbf{Z}}$ là họ các số nguyên sao cho

với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và mọi $c \geq 1$ (xem no. 4, Nhận xét). Chứng minh rằng $(w_n)$ là điển hình khi và chỉ khi, với mọi $m \in \mathbf{H}$, hàm $n \mapsto \alpha(m, n)$ là một đa thức nhị thức có bậc $\leq l(m)$, trong đó $l(m)$ là độ dài của $m.$†

(f) Một dãy $(w_n)$ được gọi là 1-điển hình nếu các hàm tương ứng $w_{k,\alpha}$ là các đa thức nhị thức có bậc $\leq k - 1$. Chứng minh rằng, nếu $(w_n)$ là 1-điển hình, tồn tại $y_i \in \mathrm{C}^{i+1}\mathbf{F}$ với $i = 0, 1, \ldots$, sao cho

với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và mọi $k \geq 1$.