Exercice 2, § 8

On sait (§ 6, exerc. 3) que, si $n \geq 2$, la composante de bidegré $(n, 1)$ de $H(U, V)$ est $\frac{1}{n!} b_n (\mathrm{ad}\ U)^n(V)$, où $b_n$ est le $n$-ième nombre de Bernoulli. Déduire de là, et de la prop. 1, l’inégalité

Retrouver ce résultat au moyen du théorème de Clausen–von Staudt (FVR, VI, § 2, exerc. 6) et montrer qu’il y a égalité si et seulement si $S(n) = p-1$.

¹ Pour plus de détails sur cet exercice, voir M. LAZARD, Bull. Soc. Math. France, t. XCI (1963), p. 435–451.