Exercice 10, § 1

Soit $\mathbf{R}_d$ le groupe $\mathbf{R}$ muni de la structure de variété discrète. Soit H le groupe de Lie réel $\mathbf{R} \times \mathbf{R}_d$. Soit U l’ensemble des éléments de H de la forme $(x, x)$ ou de la forme $(x, -x)$ avec $x \in \mathbf{R}$. Alors U est un sous-groupuscule de Lie de H, U est discret, le sous-groupe G de H engendré par U est égal à H, et la structure de groupe de Lie sur G définie par le cor. de la prop. 22 est la structure de groupe discret.