Exercice 4, § 1

Soit H un groupe de Lie réel compact opérant sur une variété réelle de dimension finie V ; on suppose V de classe $C^r$, où $r \in \mathbf{N}_R$, et l’action de H sur V aussi. Soit $p \in V$ invariant par H ; le groupe H opère linéairement sur l’espace tangent T à V en $p$. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert U de $p$ stable par H et un $C^r$-morphisme $f : U \to T$ tel que: a) $f(p) = 0$, et l’application tangente à $f$ en $p$ est l’identité ; b) $f$ commute à l’action de H sur U et T.

(On choisit d’abord $f_0$ vérifiant a), puis on définit $f$ par la formule $f(x) = \int_H h . f_0(h^{-1}x) \, dh$, où $dh$ est la mesure de Haar sur H de masse totale 1.) En déduire que les H-espaces V et T sont localement isomorphes au voisinage de $p$, autrement dit qu’il existe des systèmes de coordonnées de V en $p$ par rapport auxquels H opère linéairement (« théorème de Bochner »).