Bài tập 4, § 1

Cho H là một nhóm Lie thực compact tác động trên một đa tạp thực hữu hạn chiều V; giả sử rằng V thuộc lớp $C^r$, trong đó $r \in \mathbf{N}_\mathbf{R}$, và rằng tác động của H trên V thuộc lớp $C^r$. Cho $p \in V$ bất biến dưới H; nhóm H tác động tuyến tính trên không gian tiếp xúc T của V tại $p$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một lân cận mở U của $p$ ổn định dưới H và một cấu xạ $C^r$ $f : U \to T$ sao cho: (a) $f(p) = 0$ và ánh xạ tiếp xúc của $f$ tại $p$ là đồng nhất; (b) $f$ giao hoán với tác động của H trên U và T. (Trước hết chọn một $f_0$ thỏa mãn (a) rồi định nghĩa $f$ bởi công thức

trong đó $dh$ là độ đo Haar trên H có tổng khối lượng bằng 1.)

Suy ra rằng các H-không gian V và T địa phương đẳng cấu với một lân cận của $p$, nói cách khác rằng tồn tại các hệ tọa độ trên V tại $p$ mà đối với chúng H tác động tuyến tính ("Định lý Bochner").