Exercice 6, § 1

Soit G un groupe de Lie réel opérant proprement sur une variété analytique réelle séparée V de dimension finie. Soit $p \in V$, soit H le stabilisateur de $p$, et soit $Gp$ l’orbite de $p$. Le groupe H est compact, et la variété $Gp$ s’identifie à l’espace homogène de Lie G/H. a) Montrer qu’il existe une sous-variété S de V, passant par $p$, stable par H, et telle que $T_p(V)$ soit somme directe de $T_p(Gp)$ et de $T_p(S)$. (Choisir un supplémentaire de $T_p(Gp)$ dans $T_p(V)$ qui soit stable par H, et appliquer l’exercice 4). b) On suppose S choisi comme ci-dessus. Le groupe H opère proprement et librement sur $G \times S$ par $h . (g, s) = (gh, h^{-1}s)$; soit $E = (G \times S)/H$ la variété quotient correspondante (cf. VAR, R, 6.5.1). L’application $(g, s) \mapsto g . s$ définit par passage au quotient un morphisme $\rho : E \to V$. Montrer que $\rho$ commute à l’action de G sur E et V, et qu’il existe une sous-variété ouverte S' de S contenant $p$, stable par H, et telle que $\rho$ induise un isomorphisme de variétés de $E' = (G \times S')/H$ sur un voisinage saturé de l’orbite $Gp$. c) Soit $N_p = T_p(V)/T_p(Gp)$ l’espace transversal en $p$ à $Gp$ (VAR, R, 5.8.8); le groupe H opère sur $N_p$. Déduire de b) que la connaissance de H et de la représentation linéaire de H dans $N_p$ détermine le G-espace V au voisinage de l’orbite de $p$. d) Si $x \in N_p$, soit $H_x$ le stabilisateur de $x$ dans H. Montrer qu’il existe un voisinage saturé $V'$ de $Gp$ jouissant de la propriété suivante: Pour tout $p' \in V'$, il existe $x \in N_p$ tel que le stabilisateur de $p'$ dans G soit conjugué (dans G) de $H_x$. e) Montrer que les $H_x$ sont en nombre fini, à conjugaison près dans H. (Raisonner par récurrence sur $\dim N_p = n$, en utilisant l’action de H sur une sphère de dimension $n - 1$ stable par H.)¹