Bài tập 6, § 1

Cho G là một nhóm Lie thực tác động đúng trên một đa tạp giải tích thực Hausdorff hữu hạn chiều V. Cho $p \in V$, cho H là nhóm ổn định của $p$ và cho $Gp$ là quỹ đạo của $p$. Nhóm H là compact và đa tạp $Gp$ được đồng nhất với không gian thuần nhất Lie $G/H$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một đa tạp con S của V, đi qua $p$, ổn định dưới H và sao cho $T_p(V)$ là tổng trực tiếp của $T_p(Gp)$ và $T_p(S)$. (Chọn một phần bù của $T_p(Gp)$ trong $T_p(V)$ ổn định dưới H và áp dụng Bài tập 4.)

(b) Giả sử S được chọn như trên. Nhóm H tác động đúng và tự do trên $G \times S$ bởi $h . (g, s) = (gh, h^{-1}s)$; cho E = $(G \times S)/H$ là đa tạp thương tương ứng (xem Đa tạp khả vi và giải tích, R, 6.5.1). Ánh xạ $(g, s) \mapsto gs$ xác định khi chuyển qua thương một cấu xạ $\varphi : E \to V$. Chứng minh rằng $\varphi$ giao hoán với tác động của G trên E và V và rằng tồn tại một đa tạp con mở S' của S chứa $p$, ổn định dưới H và sao cho $\varphi$ cảm sinh một đẳng cấu đa tạp của $E' = (G \times S')/H$ lên một lân cận bão hòa của quỹ đạo $Gp$.

(c) Cho $N_p = T_p(V)/T_p(Gp)$ là không gian ngang tại $p$ đối với $Gp$ (Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.8.8); nhóm H tác động trên $N_p$. Suy ra từ (b) rằng biết H và biểu diễn tuyến tính của H trên $N_p$ xác định không gian G V trong một lân cận của quỹ đạo của $p$.

(d) Nếu $x \in N_p$, cho $H_x$ là nhóm ổn định của $x$ trong H. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận bão hòa $V'$ của $Gp$ với tính chất sau: Với mọi $p' \in V'$, tồn tại $x \in N_p$ sao cho nhóm ổn định của $p'$ trong G là liên hợp (trong G) với $H_x$.

(e) Chứng minh rằng các $H_x$ có số lượng hữu hạn, xét đến liên hợp trong H. (Lập luận bằng quy nạp theo $\dim N_p = n$, sử dụng tác động của H trên một mặt cầu có chiều $n - 1$ ổn định dưới H.)†